まずは FileSystem API そのものについてはこちらのページをご参照ください。
「FileSystem API について知る」
http://www.html5rocks.com/ja/tutorials/file/filesystem/
「[HTML5] FileSystem APIの概要と活用 #1」
http://dev.classmethod.jp/references/html5-filesystem-api-1/
表題の「FileSystem APIによって保存されたファイルをChromeのDeveloper Toolsで表示する。」の答えは下のリンク先に書いてありますが、日本語版の Google Chrome だと chrome://flags/ を表示した時に項目の表記が英語版と違うのでメモしておきます。
「FileSystem inspector in Chrome Dev Tools」
http://www.codeonastick.com/2013/05/filesystem-inspector-in-chrome-dev-tools.html
上のリンク先の回答に「enable "Enable Developer Tools experiments"」と書いてありますが、日本語版の Google Chrome だと「デベロッパー ツールのテストを有効にする」の項目を有効にする必要があります。
日本語版と英語版では表記が異なっていたので、少々戸惑いました(；´∀｀)
